9의 배수 모음 - 9ui baesu mo-eum

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공부는 해도 해도 끝이 없는 학문입니다. 저 또한 마찬가지구요~. 그래서 공부는 죽을때까지 해도 모자르다는...그런 얘기가 떠오르는데요~. 수능공부를 하는 아이들에게 가끔 이런 질문을 받게 됩니다. "선생님~. 11의 배수는 어떻게 찾아요?"  제가 그럼 이렇게 대답해 주죠.  ".....11로 나눠봐" 이 아이의 질문에 숨겨진 뜻은~사실 배수라는 것은 그 수로 나누어 떨어지게 되어 있기 마련인데 그수로 나누면 되는 것이지만 그 수로 나누지 않고 어떻게 빨리 찾는지에 대해서 궁금했던 모양입니다.

▲ 공부에 푹 빠진 저^^;;

저는 이 과정을 초등학교시절 학교선생님으로부터 배웠었는데요~. 저 또한 위의 학생처럼 어린 마음에 11의 배수를 어떻게 빨리 찾는지가 궁금했습니다. 그 당시 담임선생님(그 당시에 초등학교...아니 국민학교라고 불리던 시절에 학교를 다닌 저는 담임선생님이 국어, 수학, 음악, 미술, 체육...모든 것을 한 분이서 가르쳐 주시던 시절이었습니다.^^;)께서는{ (홀수번째의 숫자의 합) - (짝수번째의 숫자의 합) }이 11의 배수이기만 하면 11의 배수라고 말씀해 주셨더랬죠~~! 예를 들면 284823 은 홀수번째자리의 숫자의 합이 19이고, 짝수번째자리의 숫자의 합이 8이니 19-8=11이 나오게 되고 나온 숫자가 11의 배수이므로 284823은 11의 배수입니다. 11의 배수를 찾는 방법은 이렇게 의외로 간단합니다.^^ 다른 수의 배수를 찾는 방법은 익히 널리 알려진 2의 배수인지 판정하는 법, 5의 배수인지 판정하는 법, 3의 배수인지 판정하는 법...등의 배수를 판정하는 방법이 잘 알려져 있는데요~. 자주 쓰이는 배수판정법을 간단하게 정리해 보자면,

※배수 판정법

· 2의 배수 판정법 -- 끝자리의 수가 2의 배수이기만 하면 됨 ex) 4968

· 4의 배수 판정법 -- 끝자리 두 개의 수가 4의 배수이기만 하면 됨 ex) 4968

· 8의 배수 판정법 -- 끝자리 세 개의 수가 8의 배수이기만 하면 됨 ex) 4968

· 5의 배수 판정법 -- 끝자리가 0이나 5이기만 하면 됨 ex) 3865

· 10의 배수 판정법 -- 끝자리가 0이기만 하면 됨 ex) 4930

· 3의 배수 판정법 -- 모든 자리의 숫자의 총합이 3의 배수이기만 하면 됨 ex) 3294

· 9의 배수 판정법 -- 모든 자리의 숫자의 총합이 3의 배수이기만 하면 됨 ex) 3294

· 11의 배수 판정법 -- { (홀수번째 숫자의 총합) - (짝수번째 숫자의 총합)}이 11의 배수이기만 하면 됨

                               ex) 284823

위에서는 2의 배수 판정법, 4의 배수 판정법, 8의 배수 판정법, 5의 배수 판정법, 10의 배수 판정법, 3의 배수 판정법, 9의 배수 판정법, 11의 배수 판정법을 간단하게 요약하여 각각의 숫자의 배수판정법에 대해서 말씀드렸는데, 왜 그렇게 되는지에 대해서 궁금하신 분은 댓글을 남겨주시면 설명해 드리겠습니다. 이런 원리 또한 수학인지라 그 이유가 궁금하신 분은 댓글로다가~! 그럼 친절하고 상세하게 댓글로 남겨드리는 그레이트 한^^ㅎㅎㅎ

수학이라는 단어가 살다보면 처음부터 너무 어렵다는 인식을 가지게 한 단어이기 때문에 그런지.. 접근하기 힘든 학문인 거 같습니다. 그냥 이렇게 숫자의 개념은 우리 일상생활에 늘 존재하는 것이고 수학과는 뗄레야 뗄 수 없는 학문이기 때문에 수학을 버릴 수는 없는 것이겠지요. 그래서 수학을 일상생활에서 일어나는 일처럼 그냥 받아들이신다면~ 그렇게 또 멀리 있는 학문도 아닙니다^^ 평범한 일상이라 생각하고 받아들이시는 것이 정신건강에 좋습니다^------^  

동영상 대본

길에서 어떤 사람이 2943 2943을 9로 나눌수 있냐고 묻는다면 쉽게 풀 수 있겠죠? 9로 나눌 수 있는지 알고 싶다면 각 자리 숫자를 모두 더해서 그 합이 9의 배수인지 9로 나눌 수 있는지 보면 된다고 말하면 됩니다 한 번 해 봅시다 2 + 9 + 4 + 3 2 + 9 = 11 11 + 4 = 15 15 + 3 = 18 18은 9로 나눌 수 있습니다 그러므로 2943은 9로 나눌 수 있습니다 만약 18이 9로 나누어지는지 잘 모르겠다면 18에도 똑같이 해볼까요? 1 + 8 = 9 9는 분명히 9로 나눌 수 있겠죠? 이렇게 그 사람을 도와주었네요 이 방법이 얼마나 유용한지 왜 이렇게 되는지 모든 숫자에 적용이 되는지 9에만 적용되는 것인지 궁금할 것입니다 8, 7, 11, 17 에는 적용이 안될 것 같은데요 9에만 적용되는 방법일까요? 사실 3에도 사용할 수 있지만 나중에 다시 설명할께요 왜 9만 가능한지 알아보기 위해서 2943을 다시 써볼까요? 2는 2943의 천의 자리 숫자이므로 2 x 1000이라고 쓸 수 있습니다 9는 백의 자리니까 9 x 100이라고 쓸 수 있겠네요 4는 십의 자리므로 4 x 10이고 3은 일의 자리 수니까 3 x 1 또는 3 이라고 적을 수 있습니다 그렇게 2943 입니다 1000, 100, 10을 1과 어떤 수의 합으로 9로 나누어질 수 있게 다르게 써봅시다 1000은 1 + 999로 100은 1 + 99로 써 봅니다 10 또한 1 + 9로 나타내 볼까요? 2 x 1000은 2 x (1+999) 와 같고 9 x 100은 9 x (1+99) 와 같고 4 x 10은 4 x (1+9) 입니다 그리고 3을 쓰세요 이제 분배해 봅시다 2(1x999)는 2 + (2x999) 이고 9(1+99)를 분배해 볼게요 참고로 처음에는 2를 분배한 것입니다 이제 9를 분배해봅시다 9 + (9x99)가 되는 것이죠 +기호를 빼먹었네요 이번에는 4를 분배해 볼까요? 분배하면 4 + (4x9)가 됩니다 마지막으로 3이 있습니다 다시 정리하겠습니다 9로 곱해져 있는 항을 따로 뺄 겁니다 주황색으로 표시해 볼까요? 각각의 항을 따로 빼 볼게요 2x999 + 9x99 + 9x4 가 됩니다 남은 숫자를 더하면 2 + 9 + 4 + 3 신기하지 않나요? 이 합은 2943의 각 자리 숫자의 합입니다 이제 왜 이렇게 수를 정리했는지 알 수 있겠죠? 이 주황색 부분이 9로 나누어지나요? 당연하죠! 999는 9로 나눌 수 있습니다 999에 어떤 수를 곱해도 9로 나눌 수 있습니다 따라서 이 항은 9로 나누어지고 이 항 또한 9로 나눌 수 있습니다 99에 어떤 수를 곱하든 9로 나눌 수 있습니다 왜냐하면 99를 9로 나눌 수 있기 때문이죠 여기도 똑같죠 언제나 무조건 9의 배수를 곱하게 될 것입니다 따라서 모든 항들은 9로 나눌 수 있습니다 2943을 이렇게 풀어서 써보고 전체가 9로 나누어지기 위해선 이 부분은 언제나 9로 나눌 수 있기 때문에 나머지 부분만 9로 나누어지면 됩니다 따라서 전체가 나누어지기 위해서는 이 부분이 9로 나누어져야 합니다

배수 판정법은 배수인지 확인하려는 수의 배수가 맞는지 간단히 확인하는 절차이다.

일반적으로 정수 에 대해 이 의 배수인지 확인하려면 이 으로 나누어 떨어지는지 확인하면 된다. 이때 이 클 때에는 나눗셈을 하는데 시간도 오래 걸리고, 틀린 답이 나올 수도 있다. 의 배수 판정법은 의 수론적 성질을 이용하여 의 자리수 에 대한 정보를 통해 이 의 배수인지 판정할 수 있는 절차이다. 배수 판정법은 자리수에 대한 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 이용하기 때문에 나눗셈보다 간단하고, 아무리 큰 수라도 배수 판정을 보다 쉽고 빠르게 할 수 있다.

목록[편집]

다음은 40까지 자연수의 배수 판정법이다.

• 1의 배수: 모든 수는 1의 배수이므로 굳이 계산 필요가 없다.
• 2의 배수: 일의 자리 수가 0,2,4,6,8인 수이다.
• 3의 배수: 각 자리 수의 합이 3의 배수인 수이다.

• 4의 배수는 가장 끝에 두 자리수가 00이거나 4의 배수인 수이다. (십의 자리가 짝수인 경우에는 일의 자리수가 0, 4, 8이면 되고, 십의 자리수가 홀수인 경우에는 일의 자리수가 2, 6이면 된다.)
• 5의 배수는 일의 자리수가 홀수면 5, 짝수면 0인 수이다.
• 6의 배수는 2와 3의 공배수, 즉, 짝수이면서 각 자리의 합이 3의 배수인 수이다.
• 7의 배수는 일의 자리를 두 배 한 것을 나머지 수에서 빼면 결과가 0 또는 7의 배수가 나오는 수이다.[1](스펜스의 방법) 다른 방법으로는 일의 자리부터 세 자리씩 끊어서 교대로 빼고 더한 것이 7의 배수일 경우 본래의 수도 7의 배수이다. 이 방법은 7이 1001의 약수임을 이용한 것으로 다른 1001의 약수 11, 13, 77, 91, 143, 1001에도 적용시키는 게 가능하다. 또 다른 방법으로는 본래의 수를 10으로 나눈 뒤에 소수점 아래는 버림한 값에 본래의 수의 일의 자리를 다섯 배한 수를 더한 결과가 7의 배수이면 본래의 수도 7의 배수이다.
• 8의 배수는 가장 끝에 세 자리수가 000이거나 8의 배수인 수이다. (좀 더 쉽게 설명하자면 백의 자리가 0이거나 짝수인 경우에는 끝에 두 자리수가 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 다시 말해 8의 배수인 수이고, 백의 자리가 홀수인 경우에는 끝의 두 자리수가 4의 배수면서 8의 배수가 아닌 두 자리수 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92이어야 한다.)
• 9의 배수는 각 자리 숫자의 합이 9의 배수인 수이다.
• 10의 배수는 일의 자리가 0인 수이다.
• 11의 배수는 홀수 자리의 합과 짝수 자리의 합의 차가 0이거나 11의 배수인 수이다. 다른 방법은 일의 자리 숫자를 제외한 후 남은 숫자에 제외시킨 일의 자리 숫자를 뺀 결과가 0이거나 11의 배수이면 본래의 수도 11의 배수이다.
• 12의 배수는 3과 4의 공배수인 수이다.
• 13의 배수는 일의 자리를 네 배하고 나머지 자리에서 더한 값이 13의 배수인 수이다. 다른 방법으로는 일의 자리부터 세 자리씩 끊어서 교대로 빼고 더한 것이 13의 배수일 경우 본래의 수도 13의 배수이다.
• 14의 배수는 2와 7의 공배수 즉 일의 자리를 두 배하고 나머지 수를 뺐을 때 결과가 0 또는 7의 배수인 수이면서 동시에 짝수인 수이다.
• 15의 배수는 3과 5의 공배수인 수이다. 즉 다시 말해 각자리의 합이 3의 배수이면서 일의 자리가 0 또는 5인 수이다.
• 16의 배수는 끝에 네 자리수가 0000이거나 16의 배수인 수이다. 다른 방법은 끝에 네 자리의 앞의 두 자리 (천의 자리와 백의 자리)를 n으로 놓고 그 수를 4로 나눈 나머지에다 4를 곱해서 나머지 수에 더한다 이 값이 0이거나 16의 배수이면 원래 수도 16의 배수이다.
• 17의 배수는 일의 자리를 다섯 배 하여 나머지 자리에서 뺀 값이 0이거나 17의 배수인 수이다.
• 18의 배수는 2와 9의 공배수 즉 각 자리의 합이 9의 배수이면서 짝수인 수이다.
• 19의 배수는 일의 자리를 두 배하고 나머지 수를 더하는데 그 결과가 19의 배수인 수이다.
• 20의 배수는 십의 자리가 0, 2, 4, 6, 8이고 일의 자리가 0인 수이다. (즉, 끝의 두 자리 수가 00, 20, 40, 60, 80 이면 20의 배수이다.)
• 21의 배수는 3과 7의 공배수인 수이다. 즉 각 자리의 합이 3의 배수이면서 7의 배수로 판정되는 수이다. 다른 방법으로는 일의 자리를 두 배 하고 나머지 수를 빼는데 결과가 0 또는 21의 배수일 경우 본래의 수도 21의 배수이다.
• 22의 배수는 2와 11의 공배수인 수이다. 다시 말해 짝수이면서 홀수 자리의 합과 짝수 자리의 합의 차가 0이거나 11의 배수인 수.
• 23의 배수는 일의 자리 숫자를 7배하여 나머지 자리를 더한 값이 23의 배수인 수이다.
• 24의 배수는 3과 8의 공배수인 수이다.4와 6의 공배수이기도 하지만 4 와 6의 최소공배수가 아니기 때문에 4와 6의 배수 판별법이 섞일수 없다.
• 25의 배수는 끝의 두 자리가 00, 25, 50, 75인 수이다.
• 26의 배수는 2와 13의 공배수인 수이다.
• 27의 배수는 4자리 이상일 경우에는 9의 배수의 확장 개념으로 37의 배수와 비슷하게 일의 자리부터 세 자리씩 나눠 묶은 후 그 숫자들을 모두 더한 값이 27의 배수인 수이다. 1001이 7, 11, 13의 배수인 것과 비슷하게 999가 27, 37의 배수인 것처럼 말이다. 다른 방법으로는 일의 자리 숫자를 8배 하여 나머지 자리에서 뺀 값이 27의 배수면 본래의 수도 27의 배수이다.
• 28의 배수는 4와 7의 공배수인 수이다.
• 29의 배수는 일의 자리 숫자를 3배하여 나머지 자리에서 더한 결과가 29의 배수인 수이다.
• 30의 배수는 3의 배수이면서 일의 자리가 0인 수이다.
• 31의 배수는 일의 자리를 3배하고 나머지 자리에서 뺀 값이 0 또는 31의 배수인 수이다.
• 32의 배수는 마지막 다섯 자리가 00000이거나 32의 배수인 수이다.
• 33의 배수는 3과 11의 공배수인 수이다. 다시 말해 각 자리의 합이 3의 배수면서 짝수자리의 합에서 홀수자리의 합을 뺀 값이 0이거나 11의 배수인 수이다. 다른 방법으로는 두 자리 씩 끊어서 더한 값이 33의 배수일 경우 본래의 수도 33의 배수이다.
• 34의 배수는 17의 배수이면서 짝수인 수이다.
• 35의 배수는 일의 자리가 0이거나 5이면서 7의 배수인 수이다.
• 36의 배수는 4와 9의 공배수인 수이다.
• 37의 배수는 27의 배수와 마찬가지로 일의 자리부터 세 자리씩 나눠 묶은 후 그 숫자들을 모두 더한 값이 37의 배수인 수이다. 이 방법도 역시 37이 999의 약수라는 것을 이용했으며, 111, 333, 999에도 적용할 수 있다. 단, 9와 3은 각 자리숫자의 합이기 때문에 해당이 되지 않는다. 다른 방법으로는 일의 자리를 11배하여 나머지 자리에서 뺀 값이 0 또는 37의 배수인 수이다.
• 38의 배수는 19의 배수이면서 짝수인 수이다.
• 39의 배수는 3의 배수이면서 13의 배수인 수이다.
• 40의 배수는 일의 자리가 0이고, 백의 자리와 십의 자리가 4의 배수인 수이다.

→ 합성수의 배수판별이 필요할때는 해당 합성수의 소인수가 모두 몇 개인지 구한 다음 소인수로 나눠서 모두 만족하는지 확인하면 편하다. 이때 합성수의 소인수가 2개 이상인 경우에는 1과 자기 자신이 아닌 유니타리 약수의 공배수를 조건으로 하면 되며, 2나 5의 거듭제곱의 배수는 가장 끝에 있는 2 또는 5의 거듭 횟수 자리가 모두 0 또는 2나 5의 거듭제곱의 배수이면 된다. 그후부터는 그 규칙이 반복된다. 또한 일반적으로 1보다 큰 자연수 n에 대하여 n진법에서 n^^m^^-1 및 그 약수의 배수 (m는 2 이상의 자연수)일 필요 충분 조건은 일의 자리부터 m자리씩 끊어서 나뉜 수들을 모두 더한 값이 n^^m^^-1의 배수여야 한다는 것이다. n진법에서 1부터 수를 셀 경우 1, 2, 3, ... , (n-1), 10, 11, ... 이렇게 되는데 여기서 숫자가 하나씩 커질 때마다 일의 자리가 (n-1)에서 0으로 바뀌는 경우가 아니면 각 자리 숫자의 합은 1 증가하게 되며, 또한 숫자의 값이 하나씩 커질 때 일의 자리 숫자가 (n-1)에서 0으로 바뀌는 경우 나머지 자릿값 중 값이 1 증가하 는 것이 하나 있기 때문에 각 자리 숫자의 합을 (n-1)로 나눈 나머지는 (n-2)에서 0이 되거나 1 증가한다. 여기서 (n-1)이 (n-1)의 배수이므로 이것이 성립한다. 예를 들어 9의 배수는 10진법에서 각 자리숫자의 합이 9의 배수여야 하므로 그 약수인 3 역시 각자리 숫자의 합이 3의 배수여야 한다. 이를 확장하여 99와 99의 약수인 33의 배수는 일의 자리부터 2자리씩 끊어서 나온 수들을 모두 더한 값이 33, 99의 배수여야 한다는 것이다. 마찬가지로 27, 37, 111, 333은 999의 약수이고, 303과 909는 9999의 약수이고, 41, 123, 271, 369, 813, 2439 역시 99999의 약수이기 때문에 적용시킬 수 있다. 이론상 n진법에서 n과 서로소인 모든 자연수에 적용시킬 수 있지만, 순환마디가 너무 길다면 적용하는게 어려울 수 있다. 이러한 수는 n진법에서 역수를 소수 (decimal number) 로 표기할 경우 순순환 소수가 되며, 역수의 순환마디에 그 수를 곱하면 n^^m^^-1이 된다. n^^m^^+1 및 그 약수의 배수 (m은 2 이상의 자연수) 역시 이와 비슷한 방법으로 일의 자리부터 m자리씩 끊어서 이 수를 오른쪽부터 나열한 뒤, 빼고 더하는 방식을 이용하면 된다. 예를 들어 1001의 약수인 7, 11, 13, 77, 91, 143의 경우 일의 자리부터 3자리씩 끊어서 빼고 더하는 방식을 교대로 반복하면 된다. 73과 137은 10001의 약수이고, 9091 은 100001의 약수이며, 9901은 1000001의 약수이기 때문에 이 방법을 적용시킬 수 있다. 이 방법은 n진법에서 n과 서로소인 자연수여서 역수의 순환마디 길이가 짝수인 수 중 (n-1)과 서로소인 모든 수에 적용할 수 있다. 물론 순환마디가 너무 길 경우에는 적용하기가 힘들어진다.

41: 일의 자리수와 나머지 자릿수를 더한수의 8배에다 일의 자리수를 더한 수가 41의 배수이면 41의 배수이다.

43: 일의 자리를 지운수의 2배에 일의 자리와 나머지 자리를 더한수의 5배를 더한수가 43의 배수이면 43의 배수이다.

50: 맨 끝 두자리가 50의 배수이면 모두 50의 배수이다.

일반적인 방법[편집]

모든 자연수의 배수판정법은 다음과 같은 방법으로 이끌어 낼 수 있다.

• 1. 어떤 자연수를 소인수분해한다.
• 2. 다음 과정에 따라 어떤 수의 배수 판정법 과정에 각 줄의 내용을 추가시킨다.
  • 1. 만약 자연수의 소인수분해 식에 2n이 포함되어 있으면, 배수판정을 하고 싶은 수의 가장 끝의 n개의 자릿수가 0이거나 2n으로 나누어져야 한다.
  • 2. 만약 자연수의 소인수분해 식에 3 또는 9가 있으면 (소인수에 3이 있는데 지수가 3 이상인 경우는 제외), 그 수의 각 자리 숫자의 합이 3 또는 9의 배수인지 확인한다.
  • 3. 만약 자연수의 소인수분해 식에 5n이 포함되어 있으면, 2n이 있을 때와 비슷하게 배수판정을 하고 싶은 수의 가장 끝의 n개의 자릿수가 0이거나 5n의 약수여야 한다.
  • 4. 위에 나온 소인수들의 경우를 제외하고도 아직 소인수들이 남아 있다면, 각 소인수들에 대해 다음 과정을 적용한다.
    1. 소인수에 적절한 1자리 자연수를 곱해 끝 자리 수가 9가 되게 만든다. 즉 끝자리 수가 1인 경우 9를, 3인 경우 3을, 7인 경우 7을, 9인 경우 1을 곱한다.
    2. 곱해서 나온 수에 1을 더한 후 10으로 나눈다. 이 수를 c라고 한다.
    3. 배수판정을 하고 싶은 수를 n이라고 하고, n = 10a + b (
       
       이고 b는 자연수이다) 라 하자. 예를 들어 n = 489인 경우 a = 48, b = 9이다. 이때 a+bc가 원래 소인수의 배수여야만 n이 이 소인수의 배수이다.

예시 1: 84[편집]

앞에 나온 과정에 따라 84의 배수판정법을 만들면 다음과 같다.

1. 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7이다.
2. 84 안에는 22, 3, 7이 포함되어 있다.
   1. 84의 소인수분해 식에 22가 포함되어 있으므로 84의 배수이려면 최소한 가장 끝의 2개의 자릿수가 0이거나 22 (=4)로 나누어떨어져야 한다.
   2. 84의 소인수분해 식에 3이 포함되어 있으므로 84의 배수이려면 최소한 각 자리 숫자의 합이 3의 배수여야 한다.
   3. 84의 소인수분해 식에는 7이 포함되어 있다.
      1. 7에 7을 곱하면 끝자리가 9가 된다. 7 ⋅ 7 = 49이다.
      2. 49 + 1 = 50이고, 50을 10으로 나누면 5가 되므로 c = 5이다.
      3. 즉 84의 배수이려면 최소한 a+5b가 7의 배수여야 한다.

위 결과를 모두 종합하면 다음과 같다. 84의 배수이려면 먼저 가장 끝의 2개의 자릿수가 0이거나 4의 배수여야 하고, 각 자리 숫자의 합이 3의 배수여야 하며, 배수판정하고 싶은 수를 n = 10a + b라 하면 a+5b가 7의 배수여야 한다.

예시 2: 455[편집]

앞에 나온 과정을 따라하되 중간 과정을 생략하면 다음과 같다.

1. 455 = 5 ⋅ 7 ⋅ 13이다.
2. 455 안에는 5, 7, 13이 포함되어 있다.
   1. 455의 배수이려면 먼저 끝의 1개의 자릿수가 0이거나 5로 나누어떨어져야 한다. 이 경우 한 자리 수 중에 5로 나누어떨어지는 수는 0과 5밖에 없으므로 455의 배수이려면 맨 끝의 자릿수가 0 또는 5가 되어야 한다고 해도 된다.
   2. 455의 배수이려면 최소한 a+5b가 7의 배수여야 한다.
   3. 455의 배수이려면 최소한 a+4b가 13의 배수여야 한다.

따라서 455의 배수이려면 먼저 맨 끝의 자릿수가 0 또는 5가 되어야 하고, a+5b가 7의 배수여야 하며, a+4b가 13의 배수여야 한다.

각주[편집]

1. ↑ https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3568254&cid=58944&categoryId=58970