매개변수 곡면의 넓이 - maegaebyeonsu gogmyeon-ui neolb-i

안녕하세요.

오늘은 곡면을 2개의 매개변수로 표현하고 그 곡면의 넓이를 구해볼꺼에요.

시작할께요 ^^

우선 곡선을 매개변수 t 로 표현할 수 있다는건 아실꺼에요.

이와 마찬가지로 곡면은 두개의 매개변수로 나타낼 수 있어요.

이렇게만 보면 매개변수곡면에 대한 감이 잘 안오죠?

한번 예시를 통해 이해해 보아요 ^^ (유치원 교사 컨셉 ㅇㅅㅇ)

이걸 다시 정리해보면

따라서 이 곡면은 xz 평면으로 자른 단면은 반지름 2인 원이고, y 로는 쭉 이어진

원기둥이 될꺼에요. (책의 그림 참고하세용)

이제 매개변수 2개로 이루어진 벡터방정식이 곡면을 나타낸다는걸 알았죠?

이번에는 반대로 곡면을 매개변수 방정식으로 나타내어 볼께요.

가장 매개변수로 나타내기 쉽고, 아무생각 없이(?) 나타낼 수 있는 방법은

이렇게 나타낼 수 있어요.

별 생각 없이도 쉽게 나타낼 수 있는 방법이죠.

하지만 나중에는 이 매개변수 식을 가지고 계산을 해야 되요.

따라서 상황에 따라 적절한 매개변수식을 구할 수 있어야 해요.

예를들어 위 곡면을 저렇게 쉽게 나타낼 수도 있겠지만

곡면이 원뿔이라는걸 활용하면

이렇게 매개변수 2개 (r, θ) 로 나타낼 수 있어요.

또 매개변수로 나타낼 때 중요한건 매개변수의 범위를 꼭 표기해줘야 한다는거에요.

절대 잊어버리면 안되요!!

곡면을 매개변수로 나타내는건 바로 다음 단원인 '면적분' 단원에서 나와요.

선적분을 하기 위해서 가장 먼저 한 일이 주어진 곡선을 매개변수 t 로 나타내는 것처럼

면적분을 하기 위해서 가장 먼저 할 일은 주어진 곡면을 매개변수로 나타내는거에요.

제말은... 매개변수로 곡면을 나타내는걸 잘 해야한다는거에요

다음은 회전곡면이에요.

회전곡면은 잊을만 하면 가끔 문제에 나와요. (시험에도 나왔었나... 기억이;; 늙었나...)

회전곡면은 도자기를 생각하면 되요.

도자기를 만들 때 아래 원판을 돌려서 만들죠?

원판을 빙빙 돌리고 손을 가만히 대고 있으면 도자기가 만들어져요.

그것과 마찬가지로 y = f(x) 를 손날 이라고 생각하고

x 축을 도자기의 중심 축이라고 생각하면

y = f(x) 를 x 축을 중심으로 돌리면 회전 곡면이 만들어 지겠죠?

그리고 그 회전 곡면도 곡면이기 때문에 2개의 매개변수로 나타낼 수 있어요.

회전 곡면은 x, θ 를 매개변수로 사용한다는걸 알고있으면 좋아요.

x 는 그냥 x 고 θ 는 y = f(x) 가 돌아간 각이에요.

θ가 0 이면 y = f(x) 가 돌아가지 않았으니까 xy 평면에 붙어있겠네요

θ가 90 이면 y = f(x) 가 90도 돌아갔으니까 xz 평면에 붙어있어요.

이걸 생각하면서 매개변수로 나타내면

이 설명은 책의 그림을 보면 훨씬 더 이해가 잘 갈꺼에요.

회전곡면에 대한 설명은 이게 끝이에요.

그런데 양이 적다고 무시하고 공부 안하면 절대 안되는게,

잊었다 싶을때 나와서 당황하게 만들더라구요;; 하하....

(그래도 나는 다 맞았다는건 함정)

죄송합니다. ㅋㄷㅋㄷ

다음으로 할 내용은 접평면 이에요.

사실 접평면은 전 포스팅 (9. 접평면과 선형근사) 에서 했었어요.

물론 그 때는 z = f(x,y) 라는 이차곡면의 접평면을 구하는 것이였지만요.

매개변수로 주어진 곡면의 접평면을 구하는 방법은 다음과 같아요.

예를들어

어때요? 쉽죠~~

이제 오늘의 마지막 내용이자 가장 중요할 수 있는 내용이에요.

바로 매개변수로 나타난 곡면의 넓이를 나타내는 방법이에요.

바로 이렇게 구할 수 있대요.

반지름이 a인 구의 겉넓이를 구해볼께요.

우선 구를 매개변수로 나타내면

이번에도 곡면의 넓이를 구하는건데 이번에는 z = f(x,y) 형태로 주어진 경우에요.

앞의 경우에서는 곡면이 r(u,v) 가 벡터 함수의 형태로 주어졌었어요.

하지만 이번 경우는 z = f(x,y) 인 스칼라 함수로 주어진 경우에요.

9. 접평면과 선형근사 포스팅에서 했듯

z = f(x,y) 로 주어진 이차곡면의 접평면의 법선벡터는

이렇게 주어진댔죠.

앞서서 곡면의 넓이를 구할 때

법선벡터의 크기를 이중적분 한게 넓이가 됬었던것처럼,

즉

이렇게 외우면 쉽게 외울 수 있어요.

(제가 이렇게 외웠거든요 하하..)

그렇다면 마지막 예시를 풀고 오늘을 마무리 할께요.

이 문제에서는 곡면이 스칼라 함수로 주어졌으므로

이렇게 구할 수 있는거에요.

그런데 마지막!! 으로 위 예제를 보면서 조금 이상한걸 느낄 수도 있어요.

아니 왜 구면좌표를 통해서 구의 겉넓이를 구할때는 구면좌표로 치환했을 때 곱해줘야할 ρ²sinφ 는 안곱해줬는데

이번 예제에서는 극좌표로 계산을 했다고 r 을 곱해줬을까요?

이상하지 않아요??

이게 조금이라도 헷갈려버리면 r 을 안곱해줘야 할 때 곱해줘버리고,

곱해줘야 할 때 안곱해줘버리고

ρ²sinφ 를 안곱해줘야 할 때 곱해줘버리고, 곱해줘야 할 때 안곱해줘버려요.

그러니까 꼭 확실하게 하고 넘어가야해요.

바로 방금한 예제 (r 을 곱해준 예제) 에서는 dA = dxdy 에 해당해요.

왜냐하면 매개변수 x, y 로 나타나있기 때문이에요.

하지만 그 전 예제 (ρ²sinφ 를 안곱해준 예제) 에서는 dA = dρdφ 가 되요.

왜냐면 매개변수 ρ 와 φ 로  주어졌기 때문이에요.

즉 r 을 곱해준 이유는 x 와 y 가 변수이기 때문에 극좌표로 치환을 해야하지만

ρ²sinφ 를 안곱해준 이유는 ρ 와 φ 가 애초에 변수라서 더이상 치환을 해줄 이유가 없고 ρ²sinφ 를 곱해줄 이유도 없는거죠.

(처음부터 극좌표로 치환을 해줬으니까)

알겠죠~~??

오늘은 여기까지에요~~

다음 포스팅에서는 드디어 면적분!!

(뀨앙 망했다...)

감사합니당~~ 헤헿