이제 2계 선형 비동차 미분방정식을 풀어봅시다. 우변이 0이 아닐 때를 다룰 것인데, 우변이 어떤 함수인지에 따라 풀이법이 상이하므로 유형을 나누어 풀어볼 예정입니다. 1. 계수가 상수인 2계 선형 (비동차) 미분방정식 $$y''+py+qy=g(t)\;\;\;\cdots \;\;(1) \\\\ 계수가 상수이고, 우변이 0이 아닌 2계 선형 동차 미분방정식의 일반적인 꼴은 이와 같습니다. 우변이 0인 경우는 좀 더 간단하고, 이전 포스팅에서 다룬 바 있습니다. 1계 선형 미분방정식의 경우 해를 특정한 꼴의 공식으로 나타낼 수 있었지만, 2계 선형 미분방정식의 경우 1계처럼 y의 일반적인 해를 x에 관한 식으로 표현한 일반화된 공식이나 풀이법이 존재하지 않습니다. 그렇다고 할지라도 미분방정식의 꼴을 보고 몇가지 상황에서는 간단히 해를 구하는 방법이 물론 존재합니다. 그런데 이 때 일반해(general solution)는 이 미분방정식을 만족시키는 가장 간단한 해인 '특별해 $y_p$(particular solution)' 와 우변이 0인 동차(homogeneous)방정식의 해인 '보조해 $y_c$(complementary function)' 의 합으로 씁니다. 왜 그런가요? 라고 질문이 바로 튀어나와야 정상이며, 그 까닭은 아래 글에다 완벽히 정리해 두었습니다. https://gosamy.tistory.com/55 어려운 내용이 아닙니다. 두렵다고 포기하지 마시고, 꼭 깔끔하게 확인을 마치고 2계 선형 미분방정식의 세계로 돌아오시기 바랍니다. 그렇다면, 미분방정식 $(1)$과 $(2)$는 우변을 0으로 놓은 뒤 동차방정식을 풀어 그것의 일반해를 먼저 찾은 다음, 특별해를 찾아서 해라고 쓰면 됩니다. $$y=y_c+y_p$$ 2. 우변이 상수일 때예제 1) 다음 미분방정식의 일반해를 구하라. $$y''-2y'-3y=7$$ 우변이 0일 때의 동차방정식을 풉니다. $$(D^2-2D+3)y=(D-3)(D+1)y=0$$ $$y=y_c=Ae^{3x}+Be^{-x}$$ 특별해는 어떻게 구할까요? $y_p=\displaystyle\frac{7}{3}$ 입니다. 넣어보면 $y''=y'=0$ 이고 $-3y=7$ 이므로 성립한다는 사실을 알게 됩니다. 그러므로, 우변이 상수일 때 특별해를 구하는 방법은 2계 미분항과 1계 미분항이 0이 되게 만들어 $y$항만 남긴 다음 계수를 우변으로 넘겨 만든 상수를 찾는 것입니다. 어렵지 않죠? 그러면 일반해는 $$y=y_c+y_p=Ae^{3x}+Be^{-x}+\displaystyle\frac{7}{3}$$ 3. 우변이 지수함수일 때정리($D.E$) 2.4$$y''+py'+qy=(D-a)(D-b)y=ke^{cx}$$의 특별해 $y_p$는 ② $c= a\,,\, a\neq b : y_p=kxe^{cx}$ ③ $c=a=b : y_p=kx^2e^{cx}$ |