Rlc회로 미분방정식 풀이 - rlchoelo mibunbangjeongsig pul-i

지난 포스팅에서 RL회로, RC회로를 통해 First Order Circuit의 응답을 확인했습니다. 이번에는 2차미분방정식으로 표현되는 RLC회로의 응답을 살펴보겠습니다.

1. 전원이 없는 RLC 직렬회로

전원이 제거된 상태로 수동소자 저항, 인덕터, 커패시터가 직렬로 연결된 모습입니다. 이제 회로의 초기조건을 정의하고 회로에 대한 해석을 이어나가겠습니다.

위 회로에서 KVL을 적용하면 다음과 같은 미분방정식을 얻을 수 있습니다.

위 회로의 식을 풀면 조건에따라 Overdamped, Critically Damped, Underdamped Case 총 3가지가 나오게 됩니다. 각 조건을 하나씩 살펴보겠습니다.

위의 식에서 오일러의 법칙에 의해서 식을 다시 정리하면,

2. 전원이 없는 RLC 병렬회로

RLC 병렬회로도 방법은 같습니다. 먼저 초기조건에 대해서 정리하고 시작하겠습니다.

마찬가지로 RLC 병렬회로를 푼 값도 조건에 따라 3가지 경우가 나옵니다.

3. RLC 직렬회로의 응답

위 회로에서 KVL을 적용하여 회로의 미분방정식을 세워줍니다.

마찬가지로 위의 2차미분방정식을 풀게되면 3가지 경우가 나오게되는데, 각각의 경우는 저희가 잘 알고있는 과도응답 (Transient Response)입니다. 그리고 전압에 대한 시간함수는 아래와 같이 과도응답과 정상상태응답의 합으로 표현되죠?

그리고 각 상태에 따라 과도응답을 표현 정리해보겠습니다.

그리고 회로의 정상상태응답은 모두 Vs로 같습니다.

최종적으로 회로의 전압을 시간함수로 표현하겠습니다.

RLC병렬연결의 시간응답 또한 방법은 동일하기때문에, 생략하고 진행하겠습니다.

[ 일반적인 Second-Order Circuits ]

위와 같이 일반적인 RLC회로가 있습니다. 이 회로를 해석하기 위해서 미분방정식을 세우기 전에 먼저 회로의 초기조건과 정상상태의 응답을 구합니다.

t=0일때 회로도의 모습입니다. 커패시터는 개방되고 인덕터는 단락되어 회로의 초기조건을 구할 수 있습니다. 초기조건에서 초기전압은 12V, 초기전류는 0으로 얻어집니다.

그리고 충분한 시간이 흘렀을 때, 정상상태의 전압과 전류를 확인하겠습니다.

t>0일때 과도응답을 구하기 위해서 회로에 있는 독립전원을 제거하고 회로해석을 할 때, 익혔던 방법을 사용하여 회로에 대한 식을 세워 해석을 마치도록 하겠습니다.

①식은 Mesh Current를 이용하여 세우고, ②식은 Nodal Analysis방법을 이용하여 식을 세웁니다.

전압 v(t)식에서 t=0과 미분형태를 이용하여 미지수 A,B를 구합니다.

정상상태 응답을 고려하여 식을 완성하여 얻어진 식은 아래와 같습니다.

전류에 대한식은 ①번식을 이용하여 구해줍니다.

지금까지 RLC회로를 2차미분방정식을 이용하여 회로를 시간에 따른 전압, 전류함수로 표현했습니다. 2차 미분방정식의 결과는 자동제어나 다른 과목에서 많이 응용되는 이론이니, 회로이론에서는 간단하게만 다루고 넘어가겠습니다. 다른 과목에서 자세하게 이어서 포스팅하도록 하겠습니다. 오늘도 감사합니다 :)