매개변수 회전체 부피 - maegaebyeonsu hoejeonche bupi

일반수학1

부피구하기(단면법, 원통각법), 곡선의 길이, 회전곡면의 넓이

​I. 부피 구하기 (단면법) 

II. 부피 구하기 (원통각법)

III. 곡선의 길이

IV. 회전곡면의 넓이

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0. 들어가기에 앞서

먼저 적분식인 ∫f(x)dx에 대해 다시한번 정리하고 넘어가자. ∫기호는 모두 더해서 극한을 취하라는 의미로, lim∑의 축약이라고 할 수 있을 것이다. 하지만 본래 lim와 ∑엔 각각 극한으로 보내지는 변수q와, p부터 q까지 대입하여 더하는 변수가 표기되는데 ∫엔 그 변수가 표기되어 있지 않다. 그리고 그것을 표기해주는 것이 dx부분이다. 하지만 이 dx는 단순히 그 역할 뿐만 아니라 자기 자신만으로도 의미를 가지고 있는데, 미세한 x의 변화량을 말한다. 이는 dy/dx가 y=f(x)의 접선의 기울기, 즉 순간적인 기울기를 뜻하는 것과도 일맥 상통한다. dy/dx는 '디엑스 분의 디와이'가 아닌 '디와이 디엑스'라고 읽지만 왜 굳이 분수와 헷갈리게 저렇게 표기할까? 이는 미분 dy/dx가 실제로 분수와 매우매우매우 흡사한 성질을 가지고 있기 때문이고, 한편으론 미분 자체가 dy(미세한 y의 변화량) / dx(미세한 x의 변화량), 즉 분수(=기울기)의 의미도 가지고 있기 때문이다. 

그리고 이것을 lim와 ∑의 의미를 적용시켜 한꺼번에 보자. ∑dx란 존재할 수 없는 식이지만(특정 정수에서의 dx는 의미가 없다.), lim∑x/n, 즉 ∫ dx는 존재하며 (f(x)가 실수로 빠진 것이 아니다.) 그것은 dx, x의 미세한 변화량을 표기된 구간동안 모두 더하라는 뜻이 된다. ​따라서 모두가 잘 알다시피 a부터 b까지의 정적분 ∫ dx = ∫ 1 dx = b-a가 된다. 특정 x의 구간동안 x의 미세한 변화량을 모두 더하면 그 구간의 길이 b-a 가 되므로. (추가로 여기서 lim∑x/n는 구분구적법의 lim∑(b-a)/n와 같은 의미로 쓰였다.)

그렇다면 정적분 a부터 b까지, ∫f(x)dx는 무슨 의미일까? f(x)와 dx의 곱을 주어진 구간 a~b에서 모두 더하란 뜻이다. 어떤 미세한 길이 dx에 대해 그 부분에서의 함수의 높이 y = f(x)를 곱하여 모두 더하면 함수와 x축이 이루는 넓이가 된다. (이를 구분구적법을 이용한 정적분의 정의라 한다. 이전 포스팅 https://blog.naver.com/atrp00/221172412758 을 참고하라.)  

또한 부정적분 ∫f(x)dx에 대해 생각해보자. y = F(x)에 대해 도함수 dy/dx = f(x)라 하면, 위에서 말했듯이 dy/dx는 분수의 성질을 가지고 있으므로, dy = f(x)dx라 할 수 있다. 즉, ∫f(x)dx = ∫dy가 되며 y의 미세한 변화량 dy를 모두 더하란 뜻이다. 이는 위에서 ∫dx = x가 되었던 것과 같이, 당연히 y가 되며 우리는 y = F(x)로 두었었다. 즉, ∫f(x)dx = F(x)이며 부정적분은 미분의 역연산이라고 할 수 있다.

​I. 부피 구하기 (단면법) 

위의 이해로 부터, 어떤 입면체의 x에서의 수직단면의 넓이가 A(x)라고 하면 그 부피는 ∫A(x)dx가 됨은 당연하다. 일반적으로 부피를 나타내는 공식이 밑면 * 높이임을 생각할 때, ∫A(x)dx는 밑면(A(x)) * 높이(dx)이며 단지 밑면의 넓이가 x에 따라 연속적으로 바뀌기 때문에 아주 미세한 x들에 대해 각자 시행한 후 모두 더해주는 것(∫) 뿐이다.

마찬가지로 함수 y = f(x)를 x축으로 회전시킨 회전체의 경우 부피는 ∫A(x)dx에서, 단면 A(x)가 πy^2이므로 ∫π f(x)^2 dx가 된다.

위 두 사항은 x와 y를 바꾸어 생각해도 같다. 예를 들어 x = f(y)를 y축으로 회전시킨 회전체의 부피는 ∫πf(y)^2 dy가 된다.

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II. 부피 구하기 (원통각법)

​원통각이란 중심점이 같은 두개의 원기둥 사이의 입체이다. 입면체를 원통각의 부피로 잘게 쪼개 구하는 방법을 원통각법이라고 한다.

단면법에서는 높이를 dx로 잘게 쪼갠 것과 다르게, 원통각법에서는 밑면을 잘게 쪼갠다. x=a, x=b, x축과 y=f(x)로 둘러싸인 영역을 y축을 기준으로 회전시킨 입면체를 상상하자. 밑면을 원으로 잘게 쪼개면 그 길이는 2πx가 되고, 원의 두께는 dx가 된다. 또한 원통각의 높이는 f(x)가 되므로 주어진 입면체의 부피는 ∫2πxf(x)dx가 된다. 

단면법과 마찬가지로 y에 대해서도 성립한다.

* 원통각법과 단면법 모두 회전체에 대해서 쓸 수 있는데, y = f(x)와 x = a, x = b, x축으로 둘러싸인 부분을 x축으로 회전시켰을 때에는 단면법으로 부피를 구하고, y축으로 회전시켰을 때에는 원통각법으로 부피를 구한다. 각각 그 원리를 생각해보면 언제 무엇을 써야하는지 쉽게 알 수 있다.

III. 곡선의 길이

​어떤 매끈한 호의 길이를 구해보자. 주어진 구간 x = a부터 x = b까지의 호의 길이는 다음과 같이 구한다.

호의 미세한 변화량을 ds라고 하자. 너무나 당연하게도 호의 총 길이는 ∫ds로 표현할 수 있다.

이 때, 호는 곡선이지만 미소한 길이의 호는 직선으로 근사된다.*(아래 참고)

피타고라스 정리에 의해 ds = √(dx^2 + dy^2)이 되므로, ∫ds = ∫ √(dx^2 + dy^2) = ∫ √(1 + (dy/dx)^2) dx 로 표현된다.

위 식에서 dx가 아닌 dy를 끄집어 내면 ∫ √(1 + (dx/dy)^2) dy로도 표현 가능하다.

만약 x와 y가 매개변수 t로 표현되었다면, ∫ √(dx^2 + dy^2) = ∫ √((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt로도 표현할 수 있다.

*(혹시 초등학교 시절 원의 넓이 구하는 공식을 어떻게 보였는지 기억하는가? 원을 중심각이 아주 작은 부채꼴 모양으로 무수히 자른 다음 엇갈리게 직사각형 모양으로 늘어놓았다. 그러면 한쪽 길이 (세로)는 반지름의 길이인 r이고, 다른 쪽 길이 (가로)는 원의 둘레의 반인 πr과 같아져 그 넓이가 πr^2이 되었더랬다. 이 때 분명히 가로부분은 직선이 아닌 미세한 곡선들의 집합이지만 직선으로 보았는데 그 경우를 생각하면 되겠다.)

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IV. 회전곡면의 넓이

구간 x = a부터 x = b까지 y = f(x)를 x축 기준으로 회전시킨 회전곡면의 겉넓이를 구해보자.

특정한 x에서의 회전곡면의 x축과 수직한 단면은 원이고, 그 둘레는 2πf(x)이다. 여기서 미소한 곡선의 길이 ds를 곱해주면 근사적으로 특정한 x에서의 회전곡면의 넓이를 구할 수 있다. 긴 종이 끈을 한바퀴 감아 만든 팔찌등을 생각해보라. (잘 모르겠다면 구글에 종이 팔찌, 쿠폰 팔찌 등으로 검색해보라.) 그 팔찌의 총 길이가 2πf(x), 두께가 ds이다. 

그리고 위 III. 곡선의 길이 와 같이 ds를 다시 표기하면, 결국 회전곡면의 넓이는 ∫2πf(x)√(1 + (dy/dx)^2) dx가 된다.

여기서 만약 x축이 아니라 y축을 기준으로 회전시켰다면 위 과정에서 반지름이 f(x)가 아닌 그저 x가 되므로, 회전곡면의 넓이는  ∫2πx√(1 + (dy/dx)^2) dx 가 된다.