수능 30 번 - suneung 30 beon

[베리타스알파=강태연 기자] 2022수능 수학영역 미적분 30번이 고난도 문항으로 꼽혔다. 주어진 조건을 만족시키는 정적분 값을 구하는 문항이다. 부분적분법과 치환적분법을 이용하면 적분값을 구할 수 있다. 정답은 143이다.

2022수능 수학 미적분은 9월모평과 비슷한 난이도로 출제된 것으로 분석된다. 이투스 교육평가연구소의 분석에 의하면 공통과목은 난이도를 높이고, 선택과목별 난이도는 조정해 변별력을 확보하고 과목별 편차를 줄이려 노력한 것으로 보인다. 지난 6월/9월모평을 통해 수학은 미적분 선택자의 1등급 점유율이 높은 것으로 확인됐고, 이에 평가원은 이번 수능 시험을 통해 이를 해소하려 한 것으로 분석된다.

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올해도 어김없이 30번 문제가 학생들을 힘들게 했다.

30. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=f(\sin^2 \pi x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0<x<1$에서 함수 $g(x)$가 극대가 되는 $x$의 개수가 $3$이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다.
(나) 함수 $g(x)$의 최댓값은 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$이고 최솟값은 $0$이다.
$f(2)=a+b\sqrt2$일 때, $a^2 +b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]

일단 문제 풀기 전에 갈 길이 머니까 깊이 숨을 들이 쉬어야 한다. 3차 함수에 삼각함수를 합성하였다. 그것도 무려 사인 함수를 제곱한 함수이다.

먼저 $h(x)=\sin^2 \pi x$라고 놓자. 당연히 그래프를 그려두면 좋다.

여기서 $0<x<1$일 때만 생각하면 된다.

3차 함수 $f(x)=x^3 +bx^2 +cx+d$라고 생각할 수 있겠으나 극값을 구하기 위해선 어차피 도함수를 구해야 하므로 일단 도함수는 아래와 같다고 놓자.

$$f^{\prime}(x)=3(x-\alpha)(x-\beta).\tag{*}$$

당연히 도함수가 위와 같이 인수분해되지 않거나 $\alpha=\beta$인 경우도 생각해야 한다. 이것을 일단 풀면서 해결하도록 하자.

먼저 $g(x)=f(\sin^2 \pi x)=f(h(x))$를 미분하자.

$$g^{\prime}(x)=f^{\prime}(h(x))h^{\prime}(x)=f^{\prime}(h(x))\cdot 2\pi \sin \pi x \cos \pi x.\tag{1}$$

(1)에서 극값을 가질 가능성이 있는 $x$는 아래 방정식에서 구할 수 있다.

$$f^{\prime}(h(x))=0\tag{2}$$

$$2\pi \sin \pi x \cos \pi x=\pi \sin 2\pi x =0\tag{3}$$

(2)에서 $h(x)=\alpha$ 또는 $h(x)=\beta$를 얻을 수 있고 (3)에서 $x=\displaystyle{\frac{1}{2}}$를 얻을 수 있다.

함수 $f$의 도함수가 *와 같지 않다면 극대가 되는 점이 (가) 조건처럼 3개가 될 수 없음을 확인하자. 또한 $0<\alpha,\beta<1$이다. 이제 극값이 될 가능성이 있는 점을 아래 그림과 같이 이름을 붙이자.

(1)에서 증감을 조사하면 $x$가 $\alpha_1 , \displaystyle{\frac{1}{2}} , \alpha_2$ 함수 $g$가 극대이고 $x$가 $\beta_1 , \beta_2$에서 극소이다.

극대일 때를 정리하면 아래와 같다.

$$g(\alpha_1)=g(\alpha_2)=g\bigg(\frac{1}{2}\bigg).$$

정리하면

$$g(\alpha_1)=g(\alpha_2)=f(\alpha)=f\bigg(\sin \pi \frac{1}{2}\bigg)=f(1)$$

이제 함수 $f$를 따져 보자. 조건 (나)에서 경계인 $x=1$에서 극대이므로 극댓값이 바로 최댓값이다. 따라서 아래와 같다.

$$f(\alpha)=f(1)=\frac{1}{2}.\tag{4}$$

이때 $f^{\prime}(\alpha)=0$이므로 $f$도 $\alpha$에서 극대이다. 따라서, 평행이동한 그래프를 생각하면 아래와 같이 적을 수 있다.

$$f(x)=(x-\alpha)^2(x-1)+\frac{1}{2}\tag{5}$$

이쯤이면 답이 나올 때도 되었는데 아직 한 고비가 더 남아 있다. 최솟값을 가질 때는 언제일까? 두 가지 경우가 있다.

$x=0$일 때 최소이거나 극대가 되는 $x=\beta$일 때 최소가 될 수 있다.

1) $x=0$일 때 최소라면 $$f(0)=-\alpha^2 +\frac{1}{2}=0$$

$$\alpha=\frac{\sqrt 2}{2}$$

$\sqrt 2$가 나왔으므로 답임을 확신할 수 있다. 이걸 먼저 생각했다면 시간을 많이 번 셈이다. 일단 답부터 구해보자. 문제에서 $$f(2)=\bigg(2-\frac{\sqrt 2}{2}\bigg)^2(2-1)+\frac{1}{2}=4-2\sqrt 2 +\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=a+b\sqrt 2$$이다.

$a=5,\;\;b=-2$이므로 $a^2 +b^2 =29$이다.

2) $\beta$에서 최소라고 하면 어떻게 될까?

$$f(\beta)=(\beta-\alpha)^2(\beta-1)+\frac{1}{2}=0\tag{6}$$

먼저 (5)를 미분하면 $$f^{\prime}(x)=2(x-\alpha)(x-1)+(x-\alpha)^2=(x-\alpha)(3x-\alpha-2).$$

처음에 놓았던 도함수와 비교하면 $\displaystyle{\beta=\frac{\alpha +2}{3}}$이다. 이것을 (6)에 대입하여 정리하면

$$\bigg(\frac{\alpha +2}{3}-\alpha\bigg)^2\bigg(\frac{\alpha +2}{3}-1\bigg)+\frac{1}{2}=0$$

$$\bigg(\frac{-2\alpha +2}{3}\bigg)^2\bigg(\frac{\alpha -1}{3}\bigg)+\frac{1}{2}=0$$

$$\frac{4}{27}(\alpha -1)^3 =-\frac{1}{2}$$

$$(\alpha-1)^3 =-\frac{27}{8}$$

$$\alpha=-\frac{1}{2}<0$$

처음에 $0<\alpha<1$이 되는 까닭을 보였으므로 이 경우는 생각하지 않아도 된다.

$\blacksquare$

해가 갈수록 30번 문제를 푸는 것이 버겁다. 처음엔 도함수인 *를 부정적분하여 풀었는데 계산이 아주 지저분하여 남에게 보이기 싫은 풀이가 나왔다. 이제 은퇴각인 모양이다. 이런 문제는 수학적 사고보다 기계적인 훈련이 필요한 문제라는 말을 핑계로 삼아 본다. 나도 왕년엔 이런 문제 그냥 눈으로 쓱 풀 때가 있었다.^^

2022 수능 수학영역 미적분 29번과 30번 풀이

29번과 30번 풀이입니다. 미적분에서 29번이 시간을 더 많이 잡아먹은 것 같습니다. 오래걸렸네요.

2022학년도 수능 수학영역 미적분 29번 풀이입니다. 세타에 관한 식으로 모든 것을 나타내고 극한값을 구하는 문제입니다. 이문제는 항상 출제 되는 것 같습니다. 먼저 f(세타) 부터 구해줬습니다. 반원이니까 지름을 지나는 삼각형은 직각임을 표시해 주면서 풀어줍니다. 직각삼각형을 찾으면 좋은게 사인이나 코사인 세타로 표현을 해줄 수가 있기 때문입니다. 모든 변을 삼각함수 식으로 나타내야 겠지요. 그리고 활꼴부분에 넓이를 구해주고 삼각형 넓이를 구해서 더 해줍니다. 그러면 f(세타)의 식은 나타낼 수 있고요.

그 다음에 g(세타)의 식을 나타내야 합니다. 사인법칙이 쓰입니다. 정삼각형의 넓이를 구해야 하므로 정삼각형 한변의 길이를 알아야 합니다. 그걸 구하기 위해 열심히 식을 세워주고요. 식이 은근히 지저분 한데 여기서 0/0꼴이 보이면 어차피 극한값을 구할 거니까 미리 구해 버립니다. 저 식까지 쓰면 너무 지저분해요~ 그래서 1/3은 미리 구해주고 식을 정리해줍니다. 그래도 지저분 하네요. ㅎㅎ

2022학년도 수능 수학영역 미적분 29번

이제 마무리 입니다. 식을 극한값 구하는 곳에 다 넣고 풀어줍니다. 그러면 답이 나오게 되네요.

상당한 시간이 걸리는 문제입니다. 미적분이나 기하나 시간이 부족했을 것 같네요. 불불불 수능 답습니다.

2022학년도 수능 수학영역 미적분 30번 풀이

29번 푸느라 칸이 부족해서 따로 갖고 와서 풀었습니다. 입시 상담하는 수험생분 중에 미적분 푼 수험새들 보면 100점도 꾀 있던데 정말 대단합니다. 저는 풀 때 시간은 따로 안 재서 푸니까 여유라도 있지 시간의 압박을 견디며 척척 풀면서 100점을 맞다니 대단합니다. 이 문제는 정적분 문제입니다. 역시 미분으로 어렵게 30번에 나오는 것 보다는 조금 쉬운 느낌입니다. 29번이 오래 걸려서 30번을 이렇게 냈나 싶었어요. 부분적분을 써서 뭘 구해야 하는지 파악합니다. 1부터 8까지 정적분을 구해야 하네요. 그러면 나의 식을 이용해 x에 대입을 해봅니다. 그러면 1,2,4,8에서 y=x와 만남을 알 수 있습니다. 역함수가 나오면 당연히 y=x를 생각해 내야 합니다. 그래서 그래프를 증가하고 미분가능한 함수처럼 그려줍니다 부드럽게요. 그리고 정적분을 치환적분을 좀 써가면서 풀어줍니다. 그러면 각 구간에 넓이를 구할 수 있습니다. 그래서 넓이를 더 해서 부분적분 한 식에 넣어주면 답이 나오게 되겠습니다.

미적분은 드디어 끝났습니다. 이제 기하만 남았는데요. 입시를 올리면서 기하도 조만간 올리지 않을까 싶습니다.

수험생 여러분들 수고 하셨습니다.