직삼각형 변의 길이 - jigsamgaghyeong byeon-ui gil-i

​안녕하세요. 해원수학 입니다.

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직각삼각형에는 직각(90도)가 되는 각이 하나가 있죠.

빗변은 이 직각의 맞은편에 있는 삼각형의 변 중에 가장 긴 변을 말합니다.

빗변은 직각삼각형에만 존재하며 정의됩니다.

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오늘은 직각삼각형의 빗변을 구하는 여러가지 방법에 대해 알아보겠습니다.

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먼저 삼각형이 직각삼각형인지 확인합니다.

피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 유효하며 정의에 의하면 직각삼각형만이 빗변을 가집니다. 삼각형에 정확히 90도인 각이 있다면 그 삼각형은 직각삼각형입니다.

※ 교재나 시험에서는 직각은 작은 네모로 표시됩니다.

직각삼각형임이 확인됐으니 피타고라스 정리를 사용해볼까요?

피타고라스 정리는 직각을 끼고있는 변의 관계를 말합니다.

두 변이 a, b이며 빗변의 c인 모든 직각삼각형은

다음 직각삼각형의 빗변의 길이를 구해봅니다.

변 c는 가장 긴변, 빗변입니다. 다른 두 변은 각각 a와 b라 정합니다.(무엇을 a, b로 정할지는 결과상 변함이 없어 중요치 않습니다.)

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문제에서 a=3, b=4라고 정해졌다면 다음과 같이 등식을 써야 합니다.

a와 b의 제곱을 구합니다. 3의 제곱과 4의 제곱은

피타고라스 정리로 빗변을 구하기 위해 마지막 단계가 남았죠?

특수한 직각 삼각형의 빗변 찾아내기 #피타고라스 수 #유클리드 증명

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피타고라스 수의 변 길이는 피타고라스 정리와 일치하는 정수입니다.

기하학 교재나 수능에서 출제되기도 합니다. 이 피타고라스 수를 외워둔다면

변의 길이만 보고도 빗변의 길이를 알 수 있으니 많은 시간을 아낄 수 있겠죠?

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첫번째 피타고라스 수는 (3, 4, 5)입니다.

(32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25)

바로 앞에서 예를 들어 설명해 드렸던 삼각형의 세 변의 길이죠?

변의 길이가 3, 4인 직각삼각형을 보면 따로 계산하지 않고도 빗변의 길이가 5라는걸 알 수 있죠. 이 비율은 배수로 늘어나도 일치합니다. 변의 길이가 6, 8인 삼각형의 빗변은 10이 되고 변의 길이가 9, 12인 삼각형의 빗변은 15가 됩니다. 1.5, 2, 2.5도 됩니다.

정리해보면

(3, 4, 5)

(6, 8, 10)

(9, 12, 15)

(12, 16, 20)

(15, 20, 25)

(18, 24, 30).......

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두번째 피타고라스 수는 (5, 12, 13)입니다.

(52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169)

같은 비율로 (10, 24, 26), (2.5, 6, 6.5)등...도 있습니다.

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그리고

각도가 45, 45, 90 인 직각삼각형의 변의 비율입니다.

이 직각삼각형은 직각 이등변 삼각형이라고도 불립니다.

이 비율도 시험에서 자주 나오고 아주 쉬운 삼각형 입니다.

이 삼각형의 변의 비율은

입니다. 즉 양변의 값이 같고 빗변의 길이는 변에 제곱근2(루트2)를 곱한 값이 되는 것이죠.

한 변의 길이로 이 삼각형의 빗변의 길이를 구하려면 변의 길이에 제곱근2(루트2)를 곱하면 됩니다. 변의 길이가 변수로 표현 되어 구해야할때, 이 비율을 이용하면 유용하게 구할 수 있습니다.

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그리고 각도가 30, 60, 90 인 직각삼각형의 변의 비율입니다.

이 삼각형은 정삼각형을 반으로 접어 만든 삼각형 입니다.

이 직각삼각형의 변의 비율은 항상

입니다. 30, 60, 90 직각삼각형의 한 변을 가지고 빗변을 구해야할 때

이 비율을 사용해 쉽게 구할 수 있을 것입니다.

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ㆍ가장 긴 변의 길이가 주어졌을 때(60도 각의 맞은편) 변에

를 곱해서 빗변의 길이를 구하면 됩니다.

예를 들어 변의 길이가 5라면 빗변은

이 됩니다.

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ㆍ가장 짧은 변의 길이가 주어졌을 때(30도 각의 맞은편) 변에

2를 곱해서 빗변을 구하면 됩니다. 예를들어 변의 길이가 5라면 빗변은 10이 됩니다.

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간단하죠?

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'사인', '코사인', '탄젠트' 이 용어들은 직각삼각형의 변과 각도의 관계를 일컫는 용어입니다.

직각삼각형에서 한 각의 '사인'은 그 각의 맞은편 변의 길이를 빗변으로 나눈 값입니다.

방정식에서 '사인'은

변이 a, b, c이고 각도가 A, B, C인 모든 삼각형의 사인법칙은

입니다.

이것으로 모든 직각삼각형의 빗변을 구할 수 있습니다.

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예를들어 A가 40도라고 가정하고 빗변을 구해보겠습니다.

C는 이미 직각인걸 알고있죠?

그렇다면

A= 40

B= 50

C= 90

a=10

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모든 각과 a의 길이를 알고 있다면 사인법칙에 대입해서 다른 두 변의 길이를 구합니다.

입니다.

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사인법칙에서 90도의 사인은 항상 1입니다.

이 사실만 알아도 식이 아주 간단해지죠?

빗변 c의 길이는

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이었습니다.

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자 이렇게 빗변의 길이를 여러가지 방법으로 구해보았습니다.

문제를 풀다보면 유형에 따라 조건들이 늘 바뀌죠.

매번 다르게 주어지는 조건에 어떤 방법을 사용해서 문제를 해결하는게 가장 좋은 방법인지

단번에 선택할 수 있는 힘과 그에 따르는 자신감을 길러야 합니다.

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문의 : 051-939-3377

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