3차원 평면의 방정식 - 3chawon pyeongmyeon-ui bangjeongsig

공간에서 직선을 방정식으로 표현할수 있듯이

평면도 방정식으로 표현할수 있습니다.

위 그림에서 두 점

여기서

따라서

그러므로 평면의 벡터방정식은

－평면의 벡터방정식－

한 점

 을 지나고 법선벡터가

따라서 

이것을 전개하면

간단하게

－평면의 방정식－

한 점

 을 지나고 법선벡터가

 인 평면의 방정식은

간단하게

위 식을 보면 평면의 방정식은 x,y,z에 대한 일차식임을 알수 있습니다.

만약 평면이 세 점 A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) (abc≠0) 을 지난다면

다음과 같이 구할수 있습니다.

주어진 평면의 법선벡터를

따라서

입니다.

그리고 평면은 점 A를 지납니다.

따라서 평면의 방정식은

전개해서 정리하면 

따라서 다음을 얻습니다.

－정리 1－

세 점

ex1) 한 점 (2,4,－1) 을 지나고 법선벡터가

평면의 방정식을 구하고 그 그래프를 그리시오.

(풀이)

한 점 (2,4,－1) 을 지나고 법선벡터가

전개하면 2x＋3y＋4z＝12 이다.

그래프를 그리면 아래와 같다.

ex2) 세 점 P(1,3,2) , Q(3,－1,6) , R(5,2,0) 을 지나는 평면의 방정식을 구하시오.

(풀이)

주어진 평면의 법선벡터를

법선벡터는

이다.

주어진 평면은 점 P를 지나므로 평면의 방정식은

ex3) 직선

(풀이)

주어진 직선을 매개변수 형태로 쓰면

x＝2＋3t , y＝－4t , z＝5＋t 이다.

이것을 평면에 대입하면

4(2＋3t)＋5(－4t)－2(5＋t)＝18 이므로 t＝－2

t＝－2 이면 x＝－4 , y＝8 , z＝3

따라서 교점의 좌표는 (－4,8,3) 이다.

ex3) 두 평면 x＋y＋z＝1 , x－2y＋3z＝1 이 이루는 각의 크기를 구하시오.

(풀이)

두 평면의 법선벡터는 각각 두 평면에 수직이므로

두 평면이 이루는 각의 크기는

두 법선벡터가 이루는 예각의 크기와 같다.

따라서 두 평면이 이루는 각의 크기를 θ라 하면

두 평면의 법선벡터는 각각 <1,1,1> , <1,－2,3> 이므로

직선과 직선이 이루는 각

평면과 평면이 이루는 각

이것은 두 방향벡터가 이루는 예각의 크기와 같습니다.

그런데 직선과 평면이 이루는 각을 구할떄는 주의해야 할 점이 있습니다.

위 그림처럼 평면의 법선벡터

직선과 평면이 이루는 각의 크기는

따라서

직선과 평면이 이루는 각의 크기를 알기 위해

벡터의 외적을 이용하면 두 평면의 교선의 방정식을 쉽게 구할수 있습니다.

일단 직관적으로 생각할수 있는 사실이지만

두 평면은 두 평면의 교선을 포함합니다.

따라서 두 평면의 법선벡터를

교선의 방향벡터를

그러므로 교선의 방향벡터는 두 법선벡터의 외적입니다.

－정리 2－

법선벡터가 각각

 인 두 평면의 교선의 방향벡터를

 라 하면

ex4) 두 평면 x＋y＋z＝1 , x－2y＋3z＝1 의 교선의 방정식을 구하시오.

(풀이)

두 평면의 법선벡터는 각각 <1,1,1> , <1,－2,3> 이므로 교선의 방향벡터는

한편 두 평면에 z＝0 을 대입하면 x＋y＝1 , x－2y＝1

이 연립방정식을 풀면 x＝1 , y＝0 이 나온다.

따라서 교선은 점 (1,0,0)을 지난다.

그러므로 교선의 방정식은

아래 그림에서

라고 할 때

점과 직선 사이의 거리 D를 구하는 방법은 다음과 같습니다.

위 그림에 있는 평면을 ax＋by＋cz＋d＝0 이라고 하면

위 그림에서 길이가 D인 선분과

따라서

입니다.

－정리 3－

점

 과 평면

 사이의 거리는

ex5) 평행한 두 평면 10x＋2y－2z＝5 , 5x＋y－z＝1 사이의 거리를 구하시오.

(풀이)

두 평면이 평행하기 때문에

한 평면 위의 점을 하나 잡아서 그 점과 다른 평면 사이의 거리를 구해도 된다.

10x＋2y－2z＝5 위의 점 

이 점과 평면 5x＋y－z＝1 사이의 거리를 구하면

ex6) 꼬인 위치에 있는 두 직선

사이의 거리를 구하시오.

(풀이)

두 직선은 꼬인 위치에 있으므로 교점을 갖지 않는다.

따라서 두 직선 L₁, L₂를 포함하는 평행한 두 평면 p₁,p₂를 만들수 있다.

두 평면이 평행하고 그 평면은 직선을 포함하므로

두 평면의 법선벡터는 두 직선의 방향벡터와 동시에 수직이다.

두 직선의 방향벡터는 각각 <1,3,－1> , <2,1,4> 이므로 법선벡터는

따라서 L₁을 포함하는 평면은 점 (1,－2,4) 을 지나므로

그리고 직선 L₂위의 점은 (0,3,－3)

점 (0,3,－3) 과 평면 13x－6y－5z－5＝0 사이의 거리는

두 직선 사이의 거리와 같으므로 구하면

내용출처 : Calculus 6E－James Stewart

P.S : 직선의 경우에는 두 점을 지나는 직선의 방정식이 공식화되어 있는데

평면의 경우에는 세 점을 지나는 평면의 방정식이 공식화 되어있지 않습니다.

그 이유는 세 점을 지나는 평면의 방정식을 공식화시킨게 너무 복잡하기 때문입니다.

실제로 세 점

이렇게 나옵니다. 

복잡하네요....ㄷㄷ

삼각형 PQR의 넓이를 구하는 것도 공식화되지 않은 이유는 위와 같습니다.

'복잡해서' 입니다.

쓰는 김에 삼각형 PQR의 넓이도 그 결과만 쓰면

이렇게 나옵니다.

이거 외울 용자분 계시나요?

위 식은 벡터의 외적을 이용하면 모두 유도할수 있습니다.

심심하면 저 공식 유도해보세요 ㅋㅋㅋ